2²+4²+6²+...+(2n)²=2n(n+1)(2n+1)/3 induksi matematika nya adalah?

Materi Induksi Matematika

i) Basis induksi
P(n): 2^2 + 4^2 + .... + (2n)^2 = 2n(n+1)(2n+1)/3
Untuk n = 1,
P(1): 2^2 = 2(1)(1+1)(2+1)/3 = 4 (benar).

ii) Langkah induksi
Sekarang misalkan
P(k): 2^2 + 4^2 + .... + (2k)^2 = 2k(k+1)(2k+1)/3
diasumsikan benar. Kita perlu membuktikan bahwa P(k+1) juga benar.
P(k+1): 2^2 + 4^2 + .... + (2k)^2 + (2k+2)^2 = 2(k+1)(k+2)(2k+3)/3. << yang perlu dibuktikan.
Ruas kiri persamaan itu adalah
[2^2 + 4^2 + .... + (2k)^2] + (2k+2)^2
= 2k(k+1)(2k+1)/3 + 3(2k+2)^2 / 3
= [2k(k+1)(2k+1)+3(2k+2)^2]/3
= [2k(2k^2+3k+1) + 3(4k^2 + 8k + 4)]/3
= [4k^3+18k^2+26k+12] / 3
Faktorkan pembilangnya:
2(2k^3 + 9k^2 + 13k + 6)
= 2(k+1)(2k^2+7k+6)
= 2(k+1)(k+2)(2k+3)
Jadi, ruas kiri persamaan itu adalah
2(k+1)(k+2)(2k+3)/3 << benar sesuai dgn apa yang perlu dibuktikan.
Jadi, terbukti bahwa P(k) mengimplikasikan P(k+1) benar sehingga P(n) adalah pernyataan yg benar