Induksi matematika dari 1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/(3n-1)(3n+2) = n/6n+4

Induksi matematika dari 1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/(3n – 1)(3n + 2) = n/6n + 4. Induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu rumus deret bilangan. Ada dua langkah dalam induksi matematika yaitu:

• Buktikan bahwa untuk n = 1 benar
• Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar

Pembahasan

[tex]\frac{1}{2 \: . \: 5} + \frac{1}{5 \: . \: 8} + \frac{1}{8 \: . \: 11} + . . . + \frac{1}{(3n - 1)(3n \: + \: 2)} = \frac{n}{6n \: + \: 4}[/tex]

1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar

[tex] \frac{1}{(3(1) - 1)(3(1) \: + \: 2)} = \frac{1}{6(1) \: + \: 4}[/tex]

[tex] \frac{1}{(2)(5)} = \frac{1}{10} [/tex]

[tex]\frac{1}{10} = \frac{1}{10}[/tex]

(BENAR)

.

2) Misal untuk n = k benar

[tex]\frac{1}{2 \: . \: 5} + \frac{1}{5 \: . \: 8} + \frac{1}{8 \: . \: 11} + . . . + \frac{1}{(3k - 1)(3k \: + \: 2)} = \frac{k}{6k \: + \: 4}[/tex]

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

[tex]\frac{1}{2 \: . \: 5} + \frac{1}{5 \: . \: 8} + \frac{1}{8 \: . \: 11} + . . . + \frac{1}{(3k - 1)(3k \: + \: 2)} + \frac{1}{(3(k \: + \: 1) - 1)(3(k \: + \: 1) \: + \: 2)} = \frac{k \: + \: 1}{6(k \: + \: 1) \: + \: 4}[/tex]

[tex]\frac{1}{2 \: . \: 5} + \frac{1}{5 \: . \: 8} + \frac{1}{8 \: . \: 11} + . . . + \frac{1}{(3k - 1)(3k \: + \: 2)} + \frac{1}{(3k \: + \: 3 - 1)(3k \: + \: 3 \: + \: 2)} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 6 \: + \: 4}[/tex]

[tex]\frac{1}{2 \: . \: 5} + \frac{1}{5 \: . \: 8} + \frac{1}{8 \: . \: 11} + . . . + \frac{1}{(3k - 1)(3k \: + \: 2)} + \frac{1}{(3k \: + \: 2)(3k \: + \: 5)} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10}[/tex]

[tex] \frac{k}{6k \: + \: 4} + \frac{1}{(3k \: + \: 2)(3k \: + \: 5)} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10}[/tex]

[tex] \frac{k}{2(3k \: + \: 2)} + \frac{1}{(3k \: + \: 2)(3k \: + \: 5)} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10}[/tex]

[tex] \frac{3k^{2} \: + \: 5k \: + \: 2}{2(3k \: + \: 2)(3k \: + \: 5)} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10}[/tex]

[tex] \frac{(3k \: + \: 2)(k \: + \: 1)}{2(3k \: + \: 2)(3k \: + \: 5)} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10}[/tex]

[tex] \frac{k \: + \: 1}{2(3k \: + \: 5)} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10}[/tex]

[tex] \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10} = \frac{k \: + \: 1}{6k \: + \: 10}[/tex]

(BENAR dan TERBUKTI)

Pelajari Lebih Lanjut

Contoh soal lain tentang induksi matematika  

• 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1): https://brainly.co.id/tugas/4665117
• 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = ⅓ n(n + 1)(n + 2): https://brainly.co.id/tugas/11180811
• Buktikan jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²: https://brainly.co.id/tugas/12819930

--------------------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 11

Mapel : Matematika  

Kategori : Induksi Matematika

Kode : 11.2.2

Kata Kunci : induksi matematika